Question

已知橢圓:的離心率,原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn),的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，且，都在以為圓心的圓上，求的值.

Answer 1

（1）（2）（3）

解析試題分析：（1）由截距式可得直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式可得間的關(guān)系，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1a/d/obhdp.png" style="vertical-align:middle;" />，解方程組可得的值。（2）由點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題可知直線和直線垂直，且的中點(diǎn)在直線上，由此可用表示出。再將點(diǎn)代入橢圓方程將用表示代入上式，根據(jù)橢圓方程可的的范圍，從而可得出所求范圍。（3）將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)題意可知，可根據(jù)斜率相乘等于列出方程，也可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0列出方程。
試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5e/6/rt3024.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以 .
因?yàn)樵�點(diǎn)到直線:的距離,解得,. 
故所求橢圓的方程為.        4分
(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為, 
所以    解得 ,.
所以.  
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓:上,所以. 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7a/b/1ucg94.png" style="vertical-align:middle;" />, 所以.所以的取值范圍為.  9分
(Ⅲ)由題意消去 ,整理得.可知.
設(shè),,的中點(diǎn)是, 
則,. 
所以.  所以.
即 .  又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8f/9/qrqya2.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以.
所以                    14分
考點(diǎn)：1點(diǎn)到線的距離； 2橢圓方程；3點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)；4轉(zhuǎn)換思想。