Question

如圖所示,△ABC是以∠B為直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分別是SC,AB,BC的中點.

(1)求證:MN⊥AB;

(2)求二面角S-ND-A的余弦值;

(3)求A到平面SND的距離.

Answer 1

(1)證明:取AC的中點E,則ME⊥平面ABC,

∴ME⊥AB.又EN∥BC,

∴EN⊥AB.故AB⊥平面MNE.

∴AB⊥MN.

(2)解:過A點作AF⊥ND于點F,易證

∠SFA為所求二面角,且在Rt△ABC中,D,N為BC,AB的中點,

由Rt△AFN∽Rt△DBN知

AF=,則tan∠SFA=.∴cos∠AFS=.

(3)解:設A到平面SND的距離為d,則

V_S—AND=·SA·S_△AND.

又V_S—AND=V_A—SND=·d·S_△SND=·d·DN·SF,

故d=.

或過點A作AH⊥SF于點H,則AH即為所求距離.解答略.