Question

【選修4-1：幾何證明選講】
如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)G．求證：DH=DG．

Answer 1

分析：連結(jié)CG，利用同角的余角相等證出∠GAB=∠FCB=90°-∠ABC．根據(jù)同弧所對(duì) 的圓周角相等，證出∠GCB=∠FCB，從而得出∠GCB=∠FCB，得△CHG是以HG為底邊的等腰三角形，利用“三線(xiàn)合一”證出DH=DG．

解答：解：連結(jié)CG，
∵AD⊥BC，∴∠ABC+∠GAB=90°
同理可得∠ABC+∠FCB=90°，從而得到∠GAB=∠FCB=90°-∠ABC
又∵∠GAB與∠GCB同對(duì)弧BG，
∴∠GAB=∠GCB，可得∠GCB=∠FCB，
∵CD⊥GH，即CD是△GCH的高線(xiàn)
∴△CHG是以HG為底邊的等腰三角形，可得DH=DG．

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓內(nèi)接三角形的垂心，求證線(xiàn)段相等．著重考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．