Question

設(shè)a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）若x∈（0，+∞）時，此時函數(shù)f（x）的圖象上是否存在兩點，使這兩點的連線與軸平行？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得：f（-x）=f（x）在R上恒成立，即等價于(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)在R上恒成立，進而求出答案．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象上是不存在兩點，使這兩點的連線與軸平行．

解答：解：（1）因為f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)，
所以f（-x）=f（x）在R上恒成立，
所以

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
等價于(a-

1

a

)(ex-

1

ex

)在R上恒成立，
所以a=1．
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則有f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)+

ex2-ex1

ex1ex2

由于e＞1，且x₁＜x₂，
所以f（x₂）＞f（x₁），
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
若x∈（0，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象上是不存在兩點，使這兩點的連線與軸平行

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，并且熟練利用定義證明或者判定函數(shù)的這些性質(zhì)．