Question

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N、P、Q分別是FC、AF、DC、AD的中點）
（1）直線DE與直線BF的位置關(guān)系是什么、夾角大小為多少？
（2）判斷并證明直線MN與直線PQ的位置關(guān)系；
（3）求三棱錐D-ABF的體積．

Answer 1

分析：（1）把三視圖還原到原圖形后可知原幾何體是兩側(cè)面為正方形且垂直的直三棱柱，所以可知直線DE與直線BF的位置關(guān)系且知道夾角；
（2）連接AC后根據(jù)三角形中位線定理及平行公理可證明；
（3）三棱錐的地面時等腰直角三角形，高就是AD，則體積可求．

解答：解：（1）由三視圖分析得到原圖形為兩個側(cè)面垂直的直三棱柱的平放圖形，由圖可知直線DE與直線BF的位置關(guān)系是異面直線，其夾角為∠BFC，大小為45°；
（2）直線MN與直線PQ的位置關(guān)系是平行
證明：連接AC，因為M、N、P、Q分別是FC、AF、DC、AD的中點，所以PQ∥AC，MN∥AC，所以MN∥PQ；
（3）由三視圖可知△ABF是邊長為2的等腰直角三角形，且三棱錐D-ABF的高為AD=2，
所以V_D-ABF=

1

3

×S△ABF×AD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．