Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，以線段為直徑的圓與橢圓交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過軸正半軸上一點作斜率為的直線.

①若與圓和橢圓都相切，求實數的值；

②直線在軸左側交圓于、兩點，與橢圓交于點、（從上到下依次為、、、），且，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②的最大值為3

【解析】

（1）線段為直徑的圓與橢圓交于點，可以得圓的方程及，將點代入橢圓方程得，又因為，就可解出，，進而得出橢圓方程．

（2）①設直線 的方程為：，即，因為與圓和橢圓相切，得，△，解得，，．

②取中點，連接，則，又，所以點為中點，寫出點坐標，進而得坐標，代入橢圓方程化簡得，，設，最后再求則 最值．

解：（1）設橢圓的焦距為

因為線段為直徑的圓與橢圓交于點

所以

又點在橢圓上

所以，解得

所以橢圓的方程為

（2）①因為直線與圓相切，所以，即（ⅰ）

由，消去得

因為直線與橢圓相切，

所以即（ⅱ）

聯立（i）（ⅱ）得負值舍去

②取中點，連結，則，

又，所以為中點

由，解得

所以

代入橢圓方程化簡得

設

則，當時，取最大值3，此時.

又，時，，，，，

符合題意，故的最大值為3.