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        1. 已知α為銳角,且tanα=
          2
          -1
          ,函數(shù)f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+
          π
          4
          )
          ,數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
          1
          2
           , an+1=f(an)

          (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
          (2)求證:an+1>an
          (3)求證:1<
          1
          1+a1
          +
          1
          1+a2
          +…+
          1
          1+an
          <2  (n≥2 , n∈N*)
          分析:(1)根據(jù)二倍角的正切函數(shù)公式,由tanα的值求出tan2α的值,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值以及α的范圍即可求出2α的值,即可求出sin(2α+
          π
          4
          )的值,把求出的tan2α和sin2α的值代入f(x)中即可確定出f(x);
          (2)an+1=f(an),把a(bǔ)n代入(1)中求出的f(x)的解析式,移項(xiàng)后,根據(jù)an2大于0,即可得證;
          (3)把a(bǔ)n代入(1)中求出的f(x)的解析式中化簡(jiǎn)后,求出
          1
          an+1
          =
          1
          a
          n
          2
          +an
          ,然后把等號(hào)右邊的式子利用拆項(xiàng)相減的方法,得到
          1
          a
          n
          2
          +an
          =
          1
          an
          -
          1
          1+an
          ,移項(xiàng)后得到
          1
          1+an
          =
          1
          an
          -
          1
          an+1
          ,然后從n=1列舉到n,抵消后得到所要證明的式子等于2-
          1
          an+1
          ,根據(jù)題意分別求出a2和a3的值,根據(jù)(2)所證明的結(jié)論即可得證.
          解答:解:(1)tan2α=
          2tanα
          1-tan2α
          =
          2(
          2
          -1)
          1-(
          2
          -1)
          2
          =1
          ,
          又∵α為銳角,所以2α=
          π
          4
          ,
          sin(2α+
          π
          4
          )=1

          則f(x)=x2+x;
          (2)∵an+1=f(an)=an2+an,
          ∴an+1-an=an2>0,
          ∴an+1>an;
          (3)∵
          1
          an+1
          =
          1
          a
          2
          n
          +an
          =
          1
          an(1+an)
          =
          1
          an
          -
          1
          1+an
          ,且a1=
          1
          2
          ,
          1
          1+an
          =
          1
          an
          -
          1
          an+1

          1
          1+a1
          +
          1
          1+a2
          +…+
          1
          1+an
          =
          1
          a1
          -
          1
          a2
          +
          1
          a2
          -
          1
          a3
          +…+
          1
          an
          -
          1
          an+1

          =
          1
          a1
          -
          1
          an+1
          =2-
          1
          an+1
          ,
          a2=(
          1
          2
          )2+
          1
          2
          =
          3
          4
          ,a3=(
          3
          4
          )2+
          3
          4
          >1
          ,
          又n≥2時(shí),∴an+1>an,
          ∴an+1≥a3>1,
          1<2-
          1
          an+1
          <2
          ,
          1<
          1
          1+a1
          +
          1
          1+a2
          +…+
          1
          1+an
          <2
          點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值,會(huì)利用不等式比較大小以及會(huì)進(jìn)行不等式的證明,是一道綜合題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知α為銳角,且tanα=
          1
          2
          ,求
          sin2αcosα-sinα
          sin2αcos2α
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知α為銳角,且tan(
          π
          4
          +α)=2

          (Ⅰ)求tanα的值;
          (Ⅱ)求
          sin2αcosα-sinα
          cos2α
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知α為銳角,且tan(
          π
          4
          +α)=2

          (Ⅰ)求tanα的值;
          (Ⅱ)求
          2cos2
          α
          2
          -1-3sinα
          2
          sin(α+
          π
          4
          )
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知α為銳角,且tanα=
          1
          2
          .求
          cos (
          π
          2
          +α)cos(π-α)
          tan(π+α)cos(2π-α)
          的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知α為銳角,且tanα=
          2
          -1,函數(shù)f(x)=2xtan2a+sin(2a+
          π
          4
          ),數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,an+1=f(an).
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn

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          同步練習(xí)冊(cè)答案