Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若對(duì)于任意的， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為、，記，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最小值為.

【解析】試題分析：（1）由變形得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性求出最大值，所以， ；（2），求出，對(duì)實(shí)數(shù)分情況討論，得出在（1,2）上的單調(diào)性，求出最大值、最小值，再求出的最小值。

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立，

所以.

令， ，則.

令，則.

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞減.

所以，

所以，即，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（2）因?yàn)?/span>，

所以， .

所以.

令，則或.

①若，

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，

所以， ，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， 的最小值為.

②若，

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，

所以， .

因?yàn)?/span>，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)， .

③若，

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以， .

所以，

所以在區(qū)間上的最小值為.

綜上所述， 的最小值為.