Question

設(shè)直線(xiàn). 若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)S同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①直線(xiàn)l與曲線(xiàn)S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有. 則稱(chēng)直線(xiàn)l為曲線(xiàn)S的“上夾線(xiàn)”．

⑴已知函數(shù)．求證：為曲線(xiàn)的“上夾線(xiàn)”．

⑵觀察下圖：

           

    根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線(xiàn)的“上夾線(xiàn)”的方程，并給出證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】⑴由得，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，， 

，所以是直線(xiàn)與曲線(xiàn)的一個(gè)切點(diǎn)；    

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，           

，所以是直線(xiàn)與曲線(xiàn)的一個(gè)切點(diǎn)；      

所以直線(xiàn)l與曲線(xiàn)S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；

對(duì)任意x∈R，，所以       

因此直線(xiàn)是曲線(xiàn)的“上夾線(xiàn)”．（6分）

⑵推測(cè)：的“上夾線(xiàn)”的方程為      

①先檢驗(yàn)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，且至少有兩個(gè)切點(diǎn)：設(shè)：

 ，令，得：（kZ） 

當(dāng)時(shí),

故：過(guò)曲線(xiàn)上的點(diǎn)(，)的切線(xiàn)方程為：

y－[]= [－()]，化簡(jiǎn)得：．

即直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切且有無(wú)數(shù)個(gè)切點(diǎn)．不妨設(shè)

②下面檢驗(yàn)g(x)F(x)     g(x)－F(x)=

直線(xiàn)是曲線(xiàn)的“上夾線(xiàn)”．          （13分）