Question

設(shè)f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），那么下列五個(gè)判斷（ ）
（1）f（x）的一個(gè)周期為T(mén)=4
（2）f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
（3）f（2010）=0
（4）f（2011）=0
（5）f（2012）=0
其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．5個(gè)

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）是奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），知f（x+4）=f（x），即周期為4；由f（x）是奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），知f（x+2）=f（-x），由此能求出結(jié)果；（3）由f（x）是奇函數(shù)，f（x+4）=f（x），知f（2010）=f（0）=0；（4）由f（x）是奇函數(shù)，f（x+4）=f（x），f（2011）=f（3）≠0．（5））f（x）是奇函數(shù)，f（x+4）=f（x），f（2012）=f（0）=0．
解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即周期為4，
故（1）正確．
（2）∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+2）=f（-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
故（2）正確．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+4）=f（x），
∴f（2010）=f（0）=0，故（3）正確
（4）∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+4）=f（x），
∴f（2011）=f（3）≠0，故（4）不成立．
（5）∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+4）=f（x），
∴f（2012）=f（0）=0，故（5）正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．