Question

設數列{a_n}具有以下性質：①a₁=1；②當n∈N^*時，a_n≤a_n+1．
（Ⅰ）請給出一個具有這種性質的數列，使得不等式

a 2 1

a2

+

a 2 2

a3

+

a 2 3

a4

+…+

a 2 n

an+1

＜

3

2

對于任意的n∈N^*都成立，并對你給出的結果進行驗證（或證明）；
（Ⅱ）若bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

，其中n∈N^*，且記數列{b_n}的前n項和B_n，證明：0≤B_n＜2．

Answer 1

分析：（I）令

a 2 1

a2

=1，

a 2 2

a3

=

1

3

，

a 2 3

a4

=

1

32

，…，

a 2 n

an+1

=

1

3n-1

，則無窮數列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）給出，顯然，該數列滿足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），利用等比數列求和也滿足條件；
（II）根據a_n≤a_n+1可得，∴b_n≥0，則B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0，將bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)轉化成
(

1

an

-

1

an+1

)(

an an+1

+

an

an+1

)≤2(

1

an

-

1

an+1

)，然后疊加可得結論．

解答：（Ⅰ）解：令

a 2 1

a2

=1，

a 2 2

a3

=

1

3

，

a 2 3

a4

=

1

32

，…，

a 2 n

an+1

=

1

3n-1

，
則無窮數列{a_n}可由a₁=1，a_n+1=3^n-1a_n²（n≥1）給出．
顯然，該數列滿足a₁=1，a_n≤a_n+1（n∈N^*），
且

a 2 1

a2

+

a 2 2

a3

+…+

a 2 n

an+1

=1+

1

3

+…+

1

3n-1

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

------------------（6分）
（Ⅱ）證明∵bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

，an≤an+1，∴b_n≥0．
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n≥0．-------------------------（8分）
又bn=(1-

an

an+1

)

1

an+1

=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)
=

an

an+1

(

1

an

-

1

an+1

)(

1

an

+

1

an+1

)
=(

1

an

-

1

an+1

)(

an an+1

+

an

an+1

)≤2(

1

an

-

1

an+1

)．
∴Bn≤2(

1

a1

-

1

an+1

)＜

2

a1

=2．
∴0≤B_n＜2．--------------------------------（14分）

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及數列的函數特性和求和，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于中檔題．