Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx+1．
（1）設(shè)常數(shù)ω＞0，若y=f（ωx），在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
（2）當x∈[-

π

6

，

7π

3

]時，g（x）=f（x）+m恰有兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用y=f（ωx），在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，確定

- π 2 ≤- ωπ 2 2ωπ 3 ≤ π 2 ω＞0

，而后求ω的取值范圍；
（2）當x∈[-

π

6

，

7π

3

]時，g（x）=f（x）+m恰有兩個零點，求出sinx=-

m+1

2

，根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求m的取值范圍．

解答：解（1）-

π

2

≤x≤

2π

3

，ω＞0則-

ωπ

2

≤ωx≤

2ωπ

3

∴

- π 2 ≤- ωπ 2 2ωπ 3 ≤ π 2 ω＞0

故

ω≤1 ω≤ 3 4 ω＞0

∴ω的取值范圍是（0，

3

4

）
解（2）令f（x）+m=0即有sinx=-

m+1

2

作出y=sinx，x∈[-

π

6

，

7π

3

]的圖象
由圖可知-

m+1

2

∈（-1，-

1

2

）∪（

3

2

，1）
m的取值范圍是（-3，-

3

-1）∪（0，1）

點評：本題是中檔題，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法，正弦函數(shù)的有界性，確定變量的范圍，可見基本知識在解題中的應用，任何問題最終化為基本函數(shù)的性質(zhì)來求解，這是一般規(guī)律．掌握好了基本知識，有利于學好數(shù)學．