Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin

x

3

cos

x

3

-2sin²

x

3

．
（I）求f（x）的圖象的對稱中心坐標；
（II）在△ABC中，A、B、C所對邊分別為，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA．

Answer 1

分析：（I）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱中心即可確定出f（x）的圖象的對稱中心坐標；
（II）由f（C）=1，利用第一問確定的函數(shù)解析式求出C的度數(shù)為

π

2

，利用勾股定理列出關系式，將已知等式代入，利用正弦定理化簡即可求出sinA的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sin

2x

3

+cos

2x

3

-1=2sin（

2x

3

+

π

6

）-1，
令

2x

3

+

π

6

=kπ（k∈Z），得x=

3kπ

2

-

π

4

，此時f（x）=-1，
則f（x）的圖象的對稱中心坐標為（

3kπ

2

-

π

4

，-1）（k∈Z）；
（II）在△ABC中，由f（C）=1，得到2sin（

2C

3

+

π

6

）-1=1，即sin（

2C

3

+

π

6

）=1，
∴

2C

3

+

π

6

=

π

2

，即C=

π

2

，
∵b²=ac，∴c²=a²+b²=a²+ac，
利用正弦定理化簡得：sin²C=sin²A+sinAsinC，即sin²A+sinA-1=0，
解得：sinA=

5 -1

2

．

點評：此題考查了正弦定理、余弦定理，正弦函數(shù)的對稱性，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．