Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)。
（1）設(shè)橢圓C上點(diǎn)到兩點(diǎn)F₁、F₂距離和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN，試探究k_PM·k_PN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，不必證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，
∴，
又2a=4，
∴橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）。
（2）設(shè)KF₁的中點(diǎn)為B（x， y），則點(diǎn)K（2x+1，2y），
把K的坐標(biāo)代入橢圓中得，，
∴線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程為。
（3）過(guò)原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
設(shè)，
M，N，P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，得，，
∴，
故：的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，同時(shí)與直線L無(wú)關(guān)。