Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（e是自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，若函數(shù)g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A．（

  1

  e

  ，e²+

  1

  e

  ）
• B．（0，e²+

  1

  e

  ）
• C．（e²+

  1

  e

  ，+∞）
• D．（-∞，e²+

  1

  e

  ）

Answer 1

分析：由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，從而可求a的值，由g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=0，得

lnx

f(x)

=x²-2ex+m，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的最值，即可得到結論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=ln（1+a）=0，解得a=0，即f（x）=lne^x=x．
∴g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=lnx-x（x²-2ex+m），
由g（x）=lnx-x（x²-2ex+m）=0，得

lnx

x

=x²-2ex+m，
設h（x）=

lnx

x

，m（x）=x²-2ex+m，
則m（x）=（x-e）²+m-e²≥m-e²，
h'（x）=

1-lnx

x2

，由h'（x）＞0，得0＜x＜e，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由h'（x）＜0，得x＞e，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=e時，函數(shù)h（x）取得最大值h（e）=

lne

e

=

1

e

，
要使g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有兩個零點，
則

1

e

＞m-e2，即m＜

1

e

+e2．
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，函數(shù)零點的判斷和應用，利用構造法將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題是解決本題的關鍵，注意利用數(shù)形結合的思想去解決．