Question

（2011•自貢三模）己知函數(shù)f（x）=

x-4

x+1

（x≠-1）的反函數(shù)是f^-1（x
），設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有{a_n}=

6f-1(Sn)-19

f-1(Sn)+1

成立，且b_n=f^-1（a_n）
（I）求數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（II）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)是否存在使得R_n≥4k成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)k：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由_：
（III）記c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有T_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)題意求出a_n與S_n的關(guān)系，然后利用遞推關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)變形得到數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N^*），R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m+4n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N^*），則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1=8m-4=4n，從而對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k則不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立；
（III）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，計(jì)算出c_n的通項(xiàng)公式，再比較T_n與

3

2

的大小．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，f^-1（x）=

x+4

1-x

(x≠1)，
于是由a_n=

6f-1(sn) -19

f-1(sn) +1

得，a_n=5S_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5s₁+1∴a₁=-

1

4

又∵a_n=5s_n+1a_n+1=5a_n+1+1∴a_n+1-a_n=5a_n+1

an+1

an

=-

1

4

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，∴a_n=(-

1

4

)n，
b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

（n∈N^*）　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．
證明：由（I）知b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

∵b_2k-1+b_2k=8+

5

(-4)2k-1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

16k-1

-

20

16k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

＜8
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-1+b_2m）＜8m+4n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N^*）
∴R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2m-3+b_2m-2）+b_2m-1=8m-4=4n
∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有R_n＜4k∴不存在正整數(shù)k，使得R_n≥4k成立．　
（Ⅲ）∵c_n=b_2n-b_2n-1=[4+

5

(-4)2n-1

]-[4+

5

(-4)2n-1-1

]=

5

16n-1

+

20

16n+4

=

25×16n

(16n-1)( 16n+4)

（n∈N），
又 b1=3，b2=

13

3

，∴c2=

4

3

，當(dāng)n=1時(shí)，T1＜

3

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，
Tn＜

4

3

+25×(

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

4

3

+25×

1 162 [1-( 1 16 )n-2]

1- 1 16

＜

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用以及反函數(shù)和數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用，屬于難題，同時(shí)考查了計(jì)算能力，分析解決問(wèn)題的能力．