Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

x+2

(x＞0)，定義f_n（x），n∈N如下：當(dāng)n=1時(shí)，f₁（x）=f（x）；當(dāng)n∈N且n≥2時(shí)，f_n（x）=f（f_n-1（x））．觀察：
f₁（x）=f（x）=

x

x+2

f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N時(shí)，f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．

Answer 1

分析：觀察f₁（x），f₂（x），f₃（x），…，分析等式的構(gòu)成，尋找規(guī)律，進(jìn)行歸納．

解答：解：∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

f₂（x）=f（f₁（x））=

x

3x+4

f₃（x）=f（f₂（x））=

x

7x+8

f₄（x）=f（f₃（x））=

x

15x+16

…
所給的函數(shù)式的分子不變都是x，
而分母是由兩部分的和組成，
第一部分的系數(shù)分別是1，3，7，15…2ⁿ-1，
第二部分的數(shù)分別是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=

x

(2n-1)x+2n

．
故答案為：

x

(2n-1)x+2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，實(shí)際上可看作給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式．