Question

已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

⑴求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵是否存在直線滿足條件：①過的焦點(diǎn)；②與交不同兩點(diǎn)且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

【試題解析】解：⑴設(shè)拋物線，則有，

據(jù)此驗(yàn)證個(gè)點(diǎn)知（3，），（4，4）在拋物線上，易求.（2分）

       設(shè)：，把點(diǎn)（2，0）,（，）代入得：

，解得.∴方程為.                 (5分)

⑵容易驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.　　　　　　　　　　　　（6分）

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，假設(shè)存在直線過拋物線焦點(diǎn)，設(shè)其方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為_.

由消去并整理得 ，

于是 ，.①                            (8分)

.

即.②     　　　　　　　　 (9分)

由，即，得（*）.

將①、②代入（*）式，得，解得，

所以存在直線滿足條件，且的方程為：或 （12分）