已知橢圓
，拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為原點
，每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：
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（1）求，的標準方程；
（2）設斜率不為0的動直線
與有且只有一個公共點
，且與的準線交于
，試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點
，使得以
為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.
（1）
，
；（2）存在定點
.
【解析】
試題分析：（1）設出標準方程，由點的坐標代入求出基本量即得；（2）巧設直線
的方程為
，由直線與橢圓相切，求得
，利用直線與
的準線相交求點
的坐標，寫出以
為直徑的圓的方程，利用恒成立求解.
試題解析：（1）設
，的標準方程為：
，
，∵
和
代入拋物線方程中得到的解相同，∴
， （3分）
又
和
在橢圓上，把點的坐標代入橢圓方程得
，
，則，
的標準方程分別為，.
（6分）
（2）設直線的方程為，將其代入消去
并化簡整理得：
，又直線與橢圓相切，
∴
，∴， （8分）
設切點
，則
，
，
又直線與的準線
的交點
，
∴以為直徑的圓的方程為
， （10分）
化簡整理得
恒成立，
故
，
，即存在定點符合題意. （13分）
考點： 橢圓、拋物線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直線與圓橢圓的關(guān)系，定點問題.
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
已知橢圓
、拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為原點
，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
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| 3 | 2 | 4 |
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| 0 | 4 |
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⑴求
的標準方程；
⑵是否存在直線
滿足條件：①過的焦點
；②與交不同兩點
且滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
，拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為坐標原點
，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于表中：
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（1）求
的標準方程；
（2）請問是否存在直線
同時滿足條件：(ⅰ)過的焦點
；(ⅱ)與交于不同兩點
、
，且滿足
.若存在，求出直線
的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河南省南陽市高三春期第十一次考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓
、拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為原點
，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
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3 |
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4 |
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0 |
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（1）求，的標準方程；
（2）請問是否存在直線
滿足條件：①過的焦點
；②與交于不同兩點
，
，且滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年吉林省長春市高三第一次調(diào)研測試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知橢圓
、拋物線
的焦點均在
軸上，的中心和的頂點均為原點
，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
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3 |
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4 |
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0 |
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⑴求
的標準方程；
⑵是否存在直線
滿足條件：①過的焦點
；②與交不同兩點
且滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
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