Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，空間有一點(diǎn)M（不在平面ABCD內(nèi)）滿足|MA|+|MB|=10，則三棱錐A-BCM的體積的最大值是（　�。�

• A、48
• B、36
• C、30
• D、24

Answer 1

分析：由三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，底面△ABC的面積一定，高最大時(shí)，其體積最大；又高由頂點(diǎn)M確定，所以，
當(dāng)平面MAB⊥平面ABCD時(shí)，高最大，體積也最大．

解答：解：如圖，由題意知，因?yàn)槿�棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，
底面△ABC的面積一定，當(dāng)高最大時(shí)，體積最大；
當(dāng)平面MAB⊥平面ABCD時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
在△MAB中，|MA|+|MB|=10，AB=6，
顯然，當(dāng)|MA|=|MB|=5時(shí)，高M(jìn)N最大，并且MN=

MA2-AN2

=

52-32

=4，
所以，三棱錐A-BCM的最大體積為：V_A-BCM=V_M-ABC=

1

3

•S_△ABC•MN=

1

3

×

1

2

×6×6×4=24．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)作圖知，側(cè)面與底面垂直時(shí)，得出高最大時(shí)體積也最大；其解題的關(guān)鍵是正確作圖，得高何時(shí)最大．