Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)．
（Ⅰ）求f ^-1（x）；
（Ⅱ）若a₁=1，

1

an+1

=-f-1(an)（n∈N₊），求a_n；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小的正整數(shù)k，使對(duì)于任意n∈N₊有b_n＜

k

25

成立． 若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，然后根據(jù)反函數(shù)的求解步驟進(jìn)行解題即可；
（2）根據(jù)條件推出{

1

an2

}是以

1

a12

=1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式a_n；
（3）分別表示出b_n+1，b_n，然后將兩者作差，判定符號(hào)，從而確定數(shù)列{b_n}的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可知bn≤b1=

14

45

(n∈N*)，要使bn＜

k

25

則

14

45

＜

k

25

，所以k＞

70

9

又k∈N^*即k≥8，從而求出k的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)∴f（x）＞0∴f-1(x)=-

4x2+1

x

(x＞0)
（2）∴

1

an+1

=

4an2+1

an

(an＞0)∴

1

an+12

=

1

an2

+4
∴{

1

an2

}是以

1

a12

=1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列、
∴

1

an2

=4n-3∴an=

1

4n-3

(n∈N*)、
（3）∴bn=an+12+an+22+…+a2n+12=

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

bn+1=

1

4n+5

+

1

4n+9

+…+

1

8n+9

∴bn+1-bn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜

1

8n+2

+

1

8n+2

-

1

4n+1

=0
∴b_n+1＜b_n∴{b_n}是一單調(diào)遞減數(shù)列．∴bn≤b1=

14

45

(n∈N*)
要使bn＜

k

25

則

14

45

＜

k

25

∴k＞

70

9

又k∈N^*∴k≥8∴k_min=8
即存在最小的正整數(shù)k=8，使得bn＜

k

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)以及恒成立問(wèn)題，是一道數(shù)列與函數(shù)的綜合題，屬于中檔題．