Question

某工廠日生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過30件，且在生產(chǎn)過程中次品率p與日產(chǎn)量x（x∈N⁺）件間的關(guān)系為 
，每生產(chǎn)一件正品盈利2900元，每出現(xiàn)一件次品虧損1100元．
（Ⅰ）將日利潤y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（Ⅱ）該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤最大？
（注：次品率，正品率=1-p）

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，工廠日生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過30件，且在生產(chǎn)過程中次品率p與日產(chǎn)量x（x∈N⁺）件間的關(guān)系為，，每生產(chǎn)一件正品盈利2900元，每出現(xiàn)一件次品虧損1100元．我們易得到日利潤y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的分段函數(shù)的形式，
（II）根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，我們求出兩段的最大值，進(jìn)而分析兩個(gè)最大值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：

=（6分）
（II）當(dāng)0＜x≤15時(shí)，y=2500x-20x²，
∴當(dāng)x=15時(shí)，y取得最大值33000元…6分
當(dāng)15＜x≤30時(shí)，y=
則y′=2500-4x²，令y′=0，則x=25
∵當(dāng)15＜x≤25時(shí)，y′≥0，當(dāng)25＜x≤30，y′＜0…8分
故當(dāng)x=25時(shí)，y取得最大值元…10分
∵33000＜
∴當(dāng)x=25時(shí)，y取得最大值元
即該廠的日產(chǎn)量為25件時(shí)，日利潤最大…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求半月區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中分析題意，求出滿足條件的函數(shù)的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．