Question

（本題滿分16分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數(shù)的最小值；

⑶若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴． ⑵的最小值為4．⑶．

【解析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)建立關(guān)于a,b的方程，求解即可。

(2) 本題實質(zhì)是對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有

,然后利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的最值即可。

(3) 因為點(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為．

則．因為，所以切線的斜率為．則=，

即．從而轉(zhuǎn)化為方程有三個不同的實數(shù)解，

構(gòu)造函數(shù),證明它有三個不同的零點(diǎn)即可。

解：⑴．…………………………………………………………1分

根據(jù)題意，得即解得……………………3分

所以．………………………………………………………………4分

⑵令，即．得．

					1		2
		+				+
		↗	極大值	↘	極小值	↗	2

因為，，

所以當(dāng)時，，．………………………………6分

則對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有

，所以．

所以的最小值為4．……………………………………………………………………8分

⑶因為點(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為．

則．

因為，所以切線的斜率為．………………………………9分

則=，………………………………………………………………11分

即．

因為過點(diǎn)可作曲線的三條切線，

所以方程有三個不同的實數(shù)解．

所以函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)．

則．令，則或．

		0		2
	+				+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

則 ，即，解得．…………………………………16分

（注：此題其它解法正確也給分）