Question

已知向量

m

=（2sinx，2cosx），

n

=（

3

cosx，cosx），f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式、輔助角公式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），根據(jù)周期公式可求T；再由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）根據(jù)函數(shù)的變換可得g（x）=2sin（4x+

5π

6

），由x∈[0，

π

8

]，可求4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]．結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的 最小值

解答：解：（1）因為f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）（3分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π、…（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

1

3

π，kπ+

π

6

]，k∈Z（6分）
（2）根據(jù)條件得g（x）=2sin（4x+

5π

6

）…（8分）
當(dāng)x∈[0，

π

8

]時，4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]，…（10分）
所以當(dāng)x=

π

8

時，g(x)min=-

3

、…（12分）

點評：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的二倍角、輔助角公式的綜合應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．