Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

6

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，依題意可得：

c a = 6 3 ab a2+b2 = 3 2

，由此能求出橢圓的方程．
（2）假設存在這樣的值．

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解．

解答：解：（1）直線AB方程為bx-ay-ab=0，
依題意可得：

c a = 6 3 ab a2+b2 = 3 2

，
解得：a²=3，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）假設存在這樣的值．

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

…②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），
當且僅當CE⊥DE時，
則y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₁）+5=0…③
將②代入③整理得k=

7

6

，
經驗證k=

7

6

使得①成立綜上可知，存在k=

7

6

使得以CD為直徑的圓過點E．

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．