Question

已知函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a₁=4時(shí)，記bn=

an-2

a n-1

(n∈N*)，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x）以及a_n+1=f（a_n）知，數(shù)列{a_n}是常數(shù)列時(shí)，a_n+1=a_n=a，代入整理，求出a的值．
（2）由題意求得b₁的值，根據(jù)定義證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式b_n；由b_n求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵f(x)=

4x-2

x+1

，a1=a，an+1=f(an)(n∈N*)，當(dāng)數(shù)列{a_n}是常數(shù)列時(shí)，a_n+1=a_n=a，即a=

4a-2

a+1

，解得a=2，或a=1；∴所求實(shí)數(shù)a的值是1或2．
（2）∵a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴b₁=

2

3

，
∴b_n+1=

an+1-2

an+1-1

=

f(an)-2

f(an)-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2an-4

3an-3

=

2

3

×

an-2

an-1

，
即bn+1=

2

3

bn(n∈N*)．
∴數(shù)列{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，公比為q=

2

3

的等比數(shù)列，
于是bn=

2

3

(

2

3

)n-1=(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-2

an-1

，即

an-2

an-1

=(

2

3

)n，解得an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．
∴所求的通項(xiàng)公式an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，本題中用函數(shù)解析式表示數(shù)列的遞推公式，推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算量大，是較難的題目．