Question

如圖，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點，點A繞點C旋轉(zhuǎn)后與點B繞點P旋轉(zhuǎn)后重合于點D．設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）．則f（x）的最大值為（　�。�

• A．2

  2

• B．2
• C．3
• D．3

  3

Answer 1

分析：在△CPD中，利用CP+CD＞PD，CD+PD＞CP，可得2＜x＜4．在△CPD中，設(shè)∠DCP=θ，由余弦定理可得cosθ=

22+x2-(6-x)2

2×2×x

=

3x-8

x

．利用平方關(guān)系可得sinθ=

1-cos2θ

，利用三角形的面積計算公式可得f（x）=

1

2

×CP×CD×sinθ=2

-2(x-3)2+2

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：∵CP=x，CP+PB=8-2=6，
∴CP=6-x=PD．
在△CPD中，∵CP+CD＞PD，CD+PD＞CP
，∴x+2＞6-x，2+6-x＞x，
解得2＜x＜4．
在△CPD中，設(shè)∠DCP=θ，由余弦定理可得cosθ=

22+x2-(6-x)2

2×2×x

=

3x-8

x

．
∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 3x-8 x )2

，
∴f（x）=

1

2

×CP×CD×sinθ=

1

2

×x×2×sinθ=xsinθ=x

1-( 3x-8 x )2

=2

-2(x-3)2+2

∴當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，f（x）取得最大值，f（3）=2

2

．
故選A．

點評：本題考查了三角形三邊的大小關(guān)系、余弦定理、平方關(guān)系、三角形的面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．