Question

x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的圖象在x軸的上方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．(-2，

  1

  4

  )
• B．（-∞，6）
• C．(-∞，

  1

  4

  )
• D．(-

  1

  2

  ，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的圖象在x軸的上方，可轉(zhuǎn)化成f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，然后將a分離出來，在利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出不等式另一側(cè)的最值，從而求出a的取值范圍．

解答：解：∵x∈（-∞，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的圖象在x軸的上方，
∴f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，
即a²-a＜

1+2x

4x

=[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x在（-∞，1]上恒成立，
令g（x）=[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x，x∈（-∞，1]，
再令t=(

1

2

)x，則t≥

1

2

，g（x）=t²+t≥

3

4

，
∴a²-a＜

3

4

，解得-

1

2

＜a＜

3

2

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-

1

2

＜a＜

3

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及函數(shù)恒成立問題，常常利用參變量分離的方法，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．