Question

(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分,第3小題滿分2分. 

設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（1）若為的中點(diǎn)，求證:；

（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；

（3）請你類比橢圓中（1）、（2）的結(jié)論，寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論（不必證明）．

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)， 

 ，

又

（2）逆命題：設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若，則為的中點(diǎn)．

證明：由方程組

因?yàn)橹本�交橢圓于兩點(diǎn)，

所以，即，設(shè)、、

則 ， 

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042808400396919851/SYS201304280840325316116034_DA.files/image025.png">，所以

，故E為CD的中點(diǎn)．

（3）為中點(diǎn)的充要條件是．

【解析】

試題分析：（1）解法一：設(shè)

 

 ，

又

解法二（點(diǎn)差法）：設(shè)

，

兩式相減得

即 

 

（2）逆命題：設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若，則為的中點(diǎn)．

證法一：由方程組

因?yàn)橹本�交橢圓于兩點(diǎn)，

所以，即，設(shè)、、

則 ， 

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042808400396919851/SYS201304280840325316116034_DA.files/image025.png">，所以

，故E為CD的中點(diǎn)．

證法二：設(shè)

則，

兩式相減得

即 

又，即

得，即為的中點(diǎn)．

（3）設(shè)直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．則為中點(diǎn)的充要條件是．

考點(diǎn)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評：求過定點(diǎn)的圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，通常有下面兩種方法：（1）點(diǎn)差法，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程后相減，得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系，從而求出直線方程．（2）聯(lián)立法，即將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與判別式求解．