Question

已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

分析：本題中ab≠0是大前提.證明充要條件即證明既是充分條件又是必要條件,必須證明必要性與充分性都成立.

證明：先證必要性:因?yàn)閍+b=1(ab≠0),即b=1-a,

所以a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.

所以必要性成立.

再證充分性:因?yàn)閍³+b³+ab-a²-b²=0,

即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,

所以(a+b-1)(a²-ab+b²)=0.

又因?yàn)閍b≠0,所以a≠0且b≠0,從而a²-ab+b²≠0.

所以a+b-1=0,即a+b=1.故充分性成立.