Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的線面角的正弦值為，求長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直性質(zhì)可得，再根據(jù)題中，即可由線面垂直的判定定理證明平面；

（2）先證明為等腰三角形，然后以中點為原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各個點的坐標(biāo)，并求得平面的法向量，再根據(jù)直線與平面所成的線面角的正弦值求得的值，即可求得長.

（1）證明：∵平面，平面，

∴，

∵，平面，，

∴平面.

（2）∵，，

∴為等腰直角三角形，

∵，

∴為等腰三角形.

以中點為原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)，則，，，，

∴.

設(shè)平面的法向量為，

∵，，

∴，令，則，，∴.

∴，解得.

∴.