Question

在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（1）已知數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

1

anan+1

，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若Tn=

1

9

-

1

n+9

，求數(shù)列{a_n}的公差．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，再由數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和為45列式求出首項(xiàng)和公差，則答案可求；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，由Tn=

1

9

-

1

n+9

可求出數(shù)列{a_n}的公差．

解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₄，a₈成等比數(shù)列可得，a42=a1•a8．
即(a1+3d)2=a1(a1+7d)，
∴a12+6a1d+9d2=a12+7a1d，而d≠0，∴a₁=9d．
（1）由數(shù)列{a_n}的前10項(xiàng)和為45，得S10=10a1+

10×9

2

d=45，
即90d+45d=45，故d=

1

3

，a₁=3，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=3+(n-1)•

1

3

=

1

3

(n+8)；
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=

1

d

[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)=

1

d

(

1

9d

-

1

9d+nd

)=

1

d2

(

1

9

-

1

n+9

)=

1

9

-

1

n+9

．
故數(shù)列{a_n}的公差d=1或d=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的列項(xiàng)的掌握，是中檔題．