Question

函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式為f（x）=

2

x

-1
（1）求f（-1）的值；
（2）用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)可得，f（-1）=f（1），把x=1代入當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式求值．
（2）設(shè)a＞b＞0，化簡(jiǎn)f（a）-f（b）到因式乘積的形式，判斷符號(hào)，根據(jù)增減函數(shù)的定義做出判斷．
（3）設(shè)x＜0，則-x＞0，利用x＞0時(shí)，函數(shù)的解析式，求出 f（-x）的解析式，再利用偶函數(shù)的定義求即得x＜0時(shí)的解析式．

解答：解：（1）f（-1）=f（1）=2-1=1．
（2）證明：設(shè)a＞b＞0，f（a）-f（b）=（

2

a

-1）-（

2

b

-1）=

2(b-a)

ab

，
由a＞b＞0知，

2(b-a)

ab

＜0，∴f（a）＜f（b），∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=

2

-x

-1=f（x），
∴f（x）=

2

-x

-1，即當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式為 f（x）=

2

-x

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，證明函數(shù)的單調(diào)性，以及求函數(shù)的解析式的方法．