Question

已知函數(shù)f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)）
（1）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，若不存在，說明理由，若存在，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并利用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)有 f（0）=0，代入可求a，再利用奇函數(shù)的定義進行驗證；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2) =

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+1

，根據(jù)已知只要判斷出函數(shù)值差的符號即可．

解答：解：（1）若f（x）是R上的奇函數(shù)，
則f(0)=

a

2

-

1

1+1

=0⇒a=1，
而當(dāng)a=1時，f(x)=

1

2

-

2x

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

的定義域為R，
且對x∈R，有f(-x)= 

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x+1)

=-f(x)，
因此，存在a=1，使函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
由y=

2x-1

2(2x+1)

，
得2x=

-2y-1

2y-1

．
∵2^x＞0，
∴

-2y-1

2y-1

＞0?-

1

2

＜y＜

1

2

故函數(shù)f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2) =

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+1

=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，∴2x2＞2x1，
又2x2+1＞0，2x1+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0⇒f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）是R上的減函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明（判斷）函數(shù)單調(diào)性中的簡單應(yīng)用，奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0（0在定義域內(nèi)），屬于基礎(chǔ)試題