Question

（2013•揭陽(yáng)一模）如圖（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一簡(jiǎn)單組合體ABCDEF如圖（2）示，已知M，N，P分別為AF，BD，EF的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面BCF；
（2）求證：AP⊥DE；
（3）當(dāng)AD多長(zhǎng)時(shí)，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°？

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接AC．利用矩形的性質(zhì)可得N為AC的中點(diǎn)，利用三角形的中位線(xiàn)定理可得MN∥CF，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABFE，得到AD⊥AP；利用平行四邊形的判定和性質(zhì)可得AP=BF，利用勾股定理的逆定理可得AP⊥AE，利用線(xiàn)面垂直的判定定理
可得AP⊥平面ADE．進(jìn)而得到結(jié)論．
（3）解法一：如圖所示，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出二面角，解出即可；
解法二：點(diǎn)A作AK⊥DE交DE于K點(diǎn)，連結(jié)PK，則DE⊥PK，可得∠AKP為二面角A-DE-F的平面角，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答：（1）證明：如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點(diǎn)，
∴N為AC中點(diǎn)，
在△ACF中，M為AF中點(diǎn)，故MN∥CF．
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，
∴MN∥平面BCF；
（2）證明：由題意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE，
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P為EF中點(diǎn)，∴FP=AB=2

2

，
又AB∥EF，可得四邊形ABFP是平行四邊形．
∴AP∥BF，AP=BF=2．
∴AP²+AE²=PE²，∴∠PAE=90°，∴PA⊥AE．
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE．
∵DE?平面ADE，∴AP⊥DE．
（3）解法一：如圖2，分別以AP，AE，AD所在的直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AD=m（m＞0），則A（0，0，0），D（0，0，m），E（0，2，0），P（2，0，0）．
∴

DE

=(0，2，-m)，

PE

=(-2，2，0)．
可知平面ADE的一個(gè)法向量為

AP

=(2，0，0)，
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • DE =2y-mz=0 n • PE =-2x+2y=0

，令x=1，則y=1，z=

2

m

．
故

n

=(1，1，

2

m

)．
∴cos＜

AP

，

n

＞=

AP • n

| AP || n |

=

2

2 2+ 4 m2

，
由題意得，

2

2 2+ 4 m2

=

1

2

=cos60°，解得m=

2

，
即AD=

2

時(shí)，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°．
解法二：過(guò)點(diǎn)A作AK⊥DE交DE于K點(diǎn)，連結(jié)PK，則DE⊥PK，∴∠AKP為二面角A-DE-F的平面角，
由∠AKP=60°，AP=BF=2得AK=

AP

tan60°

=

2 3

3

，
又AD•AE=AK•DE得2AD=

2 3

3

•

22+AD2

，
解得AD=

2

，即AD=

2

時(shí)，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用矩形的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的判定定理、線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式得出二面角的方法、利用二面角的定義作出二面角、直角三角形的邊角關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．