Question

【題目】已知，，順次是橢圓：的右頂點、上頂點和下頂點，橢圓的離心率，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率的直線過點，直線與橢圓交于，兩點，試判斷：以為直徑的圓是否經(jīng)過點，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1） （2）經(jīng)過，證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，列出相應表達式，再結(jié)合，即可求解；

（2）可聯(lián)立直線和橢圓的標準方程，結(jié)合韋達定理表示出兩根和與積的關(guān)系，再由向量證明即可；

（1）解：由題意得，，，.

∴即，

設(shè)橢圓的半焦距為，得方程組，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）方法一：以為直徑的圓經(jīng)過點.理由如下：

∵橢圓：，.直線的斜率，且過點.

∴直線：，

由消去，并整理得，

，直線與橢圓有兩個交點.

設(shè)，，則，.

∵

.

∴以為直徑的圓經(jīng)過點.

方法二：同方法一，得，.

∴

.

設(shè)的中點為，則，.

∴.

∴以為直徑的圓經(jīng)過點.