Question

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若函數(shù)滿足：

①在區(qū)間上單調(diào)遞減，②存在常數(shù)p，使其值域為，則稱函數(shù)是函數(shù)的“逼進函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是不是函數(shù)的“逼進函數(shù)”；

（2）求證：函數(shù)不是函數(shù)，的“逼進函數(shù)”

（3）若是函數(shù)的“逼進函數(shù)”，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）2.

【解析】

（1）由f（x）﹣g（x），化簡整理，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性和值域，即可判斷；

（2）由指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得滿足①，說明不滿足②，即可得證；

（3）由新定義，可得y＝xax為[0，+∞）的減函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，由不等式恒成立思想，可得a的范圍；再由值域為（0，1]，結(jié)合不等式恒成立思想可得a的范圍，即可得到a的值．

（1） ，

可得在[0，+∞）遞減，且，

，可得存在，函數(shù)y的值域為，

則函數(shù)是函數(shù)，的“逼進函數(shù)”；

（2）證明：，

由，在[0，+∞）遞減，

則函數(shù)在[0，+∞）遞減，

則函數(shù)在[0，+∞）的最大值為1；

由時，，時，，

則函數(shù)在[0，+∞）的值域為（-∞，1]，

即有函數(shù)不是函數(shù)，x∈[0，+∞）的“逼進函數(shù)”；

（3）是函數(shù)，的“逼進函數(shù)”，

可得為[0，+∞）的減函數(shù)，

可得導(dǎo)數(shù)在[0，+∞）恒成立，

可得，

由x＞0時，，

則，即；

又在[0，+∞）的值域為（0，1]，

則，

x=0時，顯然成立；

x＞0時，，

可得，即．

則a=2．