Question

已知圓經(jīng)過點A（2，-1）且與直線x-y-1=0相切，圓心在直線2x+y=0上，求此圓的方程．

Answer 1

分析：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b），由圓心在直線2x+y=0上，把設(shè)出的圓心坐標(biāo)代入得到關(guān)于a與b的關(guān)系，用a表示出b，由圓經(jīng)過A且與直線x-y-1=0相切，利用兩點間的距離公式求出圓心到A點間的距離，即為圓的半徑，同時根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線x-y-1=0的距離，等于圓的半徑，又列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，把表示出的b代入得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，進(jìn)而求出b的值，確定出圓心坐標(biāo)，把a(bǔ)與b代入表示出的半徑，確定出半徑，由圓心和半徑即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b），
∵圓心在直線2x+y=0上，
∴2a+b=0，即b=-2a，
又圓經(jīng)過點A（2，-1）且與直線x-y-1=0相切，
∴

(a-2)2+(b+1)2

=

|a-b-1|

2

，即2（a-2）²+2（b+1）²=（a-b-1）²，①
把b=-2a代入①得：2（a-2）²+2（-2a+1）²=（3a-1）²，
整理得：a²-10a+9=0，即（a-1）（a-9）=0，
解得：a=1或a=9，
此時b=-2或-18，
∴圓心坐標(biāo)為（1，-2）或（9，-18），
此時圓的半徑為

2

或13

2

，
則圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2或（x-9）²+（y+18）²=338．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運(yùn)用此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．