Question

【題目】已知圓:和定點(diǎn),是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

(1)求的方程;

(2)過點(diǎn)作直線與曲線相交于,兩點(diǎn)(,不在軸上),試問:在軸上是否存在定點(diǎn),總有?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在,定點(diǎn)

【解析】

（1）由題可得圓心為,由可推出的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,進(jìn)而求出橢圓方程即可；

（2）設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,當(dāng)不存在時(shí)顯然成立,當(dāng)存在時(shí),設(shè)直線為,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,可得,利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系,由可知,利用斜率公式整理求解即可

（1）由題,圓心為,半徑,

由垂直平分線的性質(zhì)可知,所以,

所以由橢圓定義可知軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,

所以,即,

因?yàn)?/span>,所以,

所以軌跡方程為:

（2）存在,

設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,

當(dāng)不存在時(shí),由橢圓的對稱性,軸上的點(diǎn)均符合題意；

當(dāng)存在時(shí),設(shè)直線為,

聯(lián)立,消去得,

設(shè),,

則,,

因?yàn)?/span>,則,

所以,即,

所以,

則,

所以,即,

所以當(dāng)時(shí),無論為何值,都滿足題意,

所以存在定點(diǎn),總有