Question

給定橢圓．稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

Answer 1

(1) ； (2) 垂直．

試題分析：（1）由“橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F的距離為”知：從而可得橢圓的標準方程和“準圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對于②設(shè)經(jīng)過準圓上點與橢圓只有一個公共點的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：
由化簡整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個根，從而
試題解析：（1）
橢圓方程為
準圓方程為
（2）①當中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，
因為與橢圓只有一個共公點，則其方程為
當方程為時，此時與準圓交于點
此時經(jīng)過點（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線也垂直．
②當都有斜率時，設(shè)點其中
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為
則由消去，得

由化簡整理得：
因為，所以有
設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點
所以滿足上述方程
所以，即垂直,
綜合①②知, 垂直．