Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)可入肺顆粒物，2012年3月2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》，其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過(guò)35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米．某城市環(huán)保部門(mén)隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數(shù)（天）	頻率
第一組	（0，15]	4	0.1
第二組	（15，30]	12	0.3
第三組	（30，45]	8	0.2
第四組	（45，60]	8	0.2
第五組	（60，75]	4	0.1
第六組	（75，90]	4	0.1

（Ⅰ）求該樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）從這40天中，隨機(jī)抽取2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)》的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）先求出去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為40.5（微克/立方米）．因?yàn)?0.5＞35，所以該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．
（Ⅱ）記事件A表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則P（A）=0.9．隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2．且ξ～B（2，0.9）．此能求出變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．
因?yàn)?0.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，
故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)；
（Ⅱ）記事件A表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則P（A）=0.9
隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2．且ξ～B（2，0.9）．
所以P（ξ=k）=

C

k 2

•0．9k•0．12-k（k=0，1，2）
所以變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	0.01	0.18	0.81

Eξ=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查頻率分布直方表、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想等．