Question

已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l₁、l₂，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l₁.又l與l₂交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當(dāng)l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)＝λ，求λ的最大值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）－1

(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，∴∠POx＝30°，
即＝tan30°＝.∴a＝b.又a²＋b²＝4，∴a²＝3，b²＝1.
故橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)由已知l：y＝(x－c)，與y＝x解得P.
由＝λ，得A.
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得(c²＋λa²)²＋λ²a⁴＝(1＋λ)²a²c².∴(e²＋λ)²＋λ²＝e²(1＋λ)².
∴λ²＝＋3≤3－2.∴λ的最大值為－1