Question

（2013•溫州一模）橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸上的兩個頂點A、B，點P為橢圓M上除A、B外的一個動點，若

QA

•

PA

=0且

QB

•

PB

=0，則動點Q在下列哪種曲線上（　�。�

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程算出A（-a，0），B（a，0）．設P（m，n），Q（x，y），可得

QA

、

PA

關(guān)于m、n、x、y的坐標形式，由

QA

•

PA

=0建立關(guān)系式，化簡得m+a=-

ny

x+a

，同理由

QB

•

PB

=0建立關(guān)系式，得m-a=-

ny

x-a

，再將所得的兩個式子對應相乘，結(jié)合點P（m，n）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的點，化簡得

x2

a2

+

y2

a4 b2

=1，即為動點Q的軌跡方程，可得本題答案．

解答：解：設P（m，n），Q（x，y）
∵橢圓M的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∴作出橢圓如圖所示，可得長軸的端點為A（-a，0），B（a，0）
∴

QA

=（x+a，y），

PA

=（m+a，n）
∵

QA

•

PA

=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=-

ny

x+a

…①
同理根據(jù)

QB

•

PB

=0，可得m-a=-

ny

x-a

…②
①×②，可得m²-a²=

n2y2

x2-a2

．…③
∵點P（m，n）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的動點，
∴

m2

a2

+

n2

b2

=1，整理得n²=

b2

a2

（a²-m²），
代入③可得：m²-a²=

b2

a2

（a²-m²）•

y2

x2-a2

，化簡得

x2

a2

+

y2

a4 b2

=1
此方程對應的圖形是焦點在y軸上的橢圓，可得動點Q的軌跡是一個橢圓，B項是正確答案
故選：B

點評：本題給出橢圓的長軸為AB，橢圓上的動點P滿足若

QA

•

PA

=0且

QB

•

PB

=0，求動點Q的軌跡方程，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)、向量數(shù)量積的計算公式和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．