Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

(p-1)x2+qx(p，q為常數(shù)）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1和x=3處取得極值，試求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，求證：方程f（x）=1有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）若函數(shù)f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，試比較a²+pa+q與x₁的大小．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于p、q的方程組，解之即可得到p、q的值；
（II）結(jié)合（I）的條件，給出g（x）=f（x）-1=

1

3

x³-2x²+3x-1，利用導(dǎo)數(shù)討論g（x）的單調(diào)性，得g（x）的極大值g（1）=

1

3

＞0，而極小值g（3）=-1＜0．由此可得函數(shù)y=g（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，即可證出方程f（x）=1有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
（III）根據(jù)題意，得x₁、x₂為方程f'（x）=0即x²+（p-1）x+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂），從這個(gè)等式出發(fā)，采用構(gòu)造法可得出a²+pa+q-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂），再討論所得式子的正負(fù)，即可證出a²+pa+q＞x₁．

解答：解：（I）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=x²+（p-1）x+q
由題意，得x=1和x=3是方程x²+（p-1）x+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

1+3=-(p-1) 1×3=q

解之得p=-3，q=3．
經(jīng)檢驗(yàn)可得p=-3，q=3符合題意．
（II）由（I）得f（x）=

1

3

x³-2x²+3x，設(shè)g（x）=f（x）-1=

1

3

x³-2x²+3x-1
則g'（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，g'（x）＜0
∴函數(shù)g（（x）在區(qū)間（-∞，1）和（3，+∞）上是增函數(shù)；在區(qū)間（1，3）上是減函數(shù)
由此可得g（1）是g（x）的極大值，而g（3）是g（x）的極小值
∵g（1）=

1

3

＞0，g（3）=-1＜0，
∴結(jié)合g（0）=-1＜0，g（4）=

1

3

＞0，可得g（x）=0在區(qū)間（0，1）、（1，3）、（3，4）上分別有一個(gè)零點(diǎn)
由以上證明過(guò)程，可得方程f（x）=1有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
（III）由題意，得x₁、x₂為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．
即得x₁、x₂為方程x²+（p-1）x+q=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q
由已知x₂＞x₁＞a，得x₁-a＞0且x₂-a＞0
而x²+（p-1）x+q=（x-x₁）（x-x₂）
則a²+pa+q-a=a²+（p-1）a+q=（a-x₁）（a-x₂）＞0
∴a²+pa+q-x₁=a²+（p-1）a+q+a-x₁=（a-x₁）（a+1-x₂）
∵x₂-x₁＞l，x₁＞a，得x₂＞l+x₁＞a+l，a+1-x₂＜0
∴a²+pa+q-x₁＞0，可得a²+pa+q＞x₁

點(diǎn)評(píng)：本題給出多項(xiàng)式函數(shù)，在已知其極值點(diǎn)的情況下求參數(shù)的值，并討論關(guān)于x的方程的根個(gè)數(shù)．著重考查了多項(xiàng)式函數(shù)根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．