Question

【題目】已知圓，圓，如圖，C1，C2分別交x軸正半軸于點(diǎn)E，A．射線OD分別交C1，C2于點(diǎn)B，D，動點(diǎn)P滿足直線BP與y軸垂直，直線DP與x軸垂直．

（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)E作直線l交曲線C與點(diǎn)M，N，射線OH⊥l與點(diǎn)H，且交曲線C于點(diǎn)Q．問：的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，且為．

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓的方程求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，然后得出動點(diǎn)P的軌跡C的方程.

（2）設(shè)出直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，轉(zhuǎn)化求解即可.

（1）設(shè)，則，，

所以，，

所以動點(diǎn)的軌跡C的方程為.

（2）由（1）可知E為C的焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為（斜率不為0時），

且設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），由，

得，

所以，所以，

又射線OQ方程為y＝﹣mx，代入橢圓C的方程得x2+2（my）2＝4，

即，，，所以，

又當(dāng)直線l的斜率為0時，也符合條件.

綜上，為定值，且為.