Question

把函數(shù)y=lnx-2的圖象按向量=（-1，2）平移得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（1）若x＞0，證明；f（x）＞；
（2不等式x²≤f（x²）+m²-2bm-3對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)向量的平移，求得f（x）=ln（x+1），再構(gòu)建函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可證不等式；
（2）不等式x²≤f（x²）+m²-2bm-3對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立，等價于-2bm-3，對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立，求出左邊函數(shù)的最大值，進一步可化為對b∈[-1，1]時，0≤m²-2bm-3恒成立，即使2mb+3-m²≤0恒成立，從而可求實數(shù)m的取值范圍．
解答：（1）證明：∵函數(shù)y=lnx-2的圖象按向量=（-1，2）平移得到函數(shù)y=f（x）的圖象
∴f（x）=ln（x+1），
構(gòu)建函數(shù)，
求導函數(shù)得
∵x＞0，∴F′（x）＞0，
∴在（0，+∞）上，F(xiàn)（x）為增函數(shù)．
∴F（x）＞F（0）=0，
∴
∴；
（2）解：∵不等式x²≤f（x²）+m²-2bm-3對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立
∴-2bm-3，對b∈[-1，1]，x∈[-1，1]時恒成立
設g（x）=+1），
則g′（x）=x-，
x∈（-1，0）時，g′（x）＞0，x∈（0，1）時，g′（x）＜0．
∴x∈（-1，1）時，g（x）≤g（0）=0．
∴x∈（-1，1）時，0≤m²-2bm-3，
∴問題可化為對b∈[-1，1]時，0≤m²-2bm-3恒成立，即使2mb+3-m²≤0恒成立．
∴或，
∴m≤-3或m≥3
綜上，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而證明不等式，考查恒成立問題的理解與處理，綜合性強．