Question

用0,1,2,3,4,5,6構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),其中

(1)能被25整除的數(shù)有多少個?

(2)設(shè)x,y,z分別表示個位,十位,百位上的數(shù)字,滿足x＜y＜z的數(shù)有多少個?

(3)偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有多少個?

Answer 1

解:(1)能被25整除的數(shù)的特征是后兩位數(shù)是25的倍數(shù)，分兩類討論.

第一類:×××××25類型的七位數(shù);

第二類:×××××50類型的七位數(shù).

在第一類中,0是特殊元素,先安排0,再安排其他4個數(shù),有N₁=4×=96個.

在第二類中,沒有特殊元素,于是有N₂===120個.

根據(jù)分類計數(shù)原理,共有N=N₁+N₂=96+120=216個可以被25整除的七位數(shù).

(2)百萬位是特殊位置.

分兩步完成:

第一步,先安排百萬位上的數(shù)字,有6種方法;

第二步,對剩余的6個數(shù)進(jìn)行排列.

又因為x＜y＜z,

所以有=6×5×4=120種.

根據(jù)分步計數(shù)原理,共有N=6×120=720個滿足條件的七位數(shù).

(3)采用間接法.

{偶數(shù)相鄰的七位數(shù)}={偶數(shù)相鄰的七個數(shù)的排列}-{0在首位且偶數(shù)相鄰的七個數(shù)的排列}.

先求偶數(shù)相鄰的排列數(shù).

視偶數(shù)為“一”個元素與1,3,5進(jìn)行排列,而后,0,2,4,6之間再進(jìn)行內(nèi)部調(diào)整,所以有·=576個.

再求0在首位且偶數(shù)相鄰的排列數(shù).

視偶數(shù)為“一”個元素與1,3,5進(jìn)行排列,偶數(shù)必在1,3,5的左側(cè).而后,2,4,6之間再進(jìn)行內(nèi)部調(diào)整.

所以有·=36個.

所以偶數(shù)必須相鄰的數(shù)共有N=576-36=540個.