Question

【題目】已知函數(shù)（）

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若且存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記作，，若，求a的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出，，得到的解析式，問題轉(zhuǎn)化為，令，，所以，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

（3）問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解：（1）

（※）

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上是增函數(shù)

當(dāng)時(shí),由得,解得（舍去）

所以當(dāng)時(shí),,從而,函數(shù)在上是減函數(shù);

當(dāng)時(shí),,從而,函數(shù)在上是增函數(shù)

綜上，當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是增函數(shù);

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)

（2）由（1）知,當(dāng)時(shí),,函數(shù)無極值點(diǎn)

若存在兩個(gè)極值點(diǎn),又由為正數(shù)必有，由（1）極值點(diǎn)為,

依題意即化為,得

所以的取值范圍是

由（※）式得

不等式化為

令所以

當(dāng)時(shí),,,,所以,不合題意

當(dāng)時(shí),,

所以在上是減函數(shù),所以,適合題意,即

綜上,a的取值范圍是.

（3）當(dāng)時(shí),

不等式可化為，即證.

設(shè),則在上,,是減函數(shù);在上,,是增函數(shù),所以,

設(shè),則是減函數(shù),所以,

所以，即所以當(dāng)時(shí)，不等式