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        1. 已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)與雙曲線x2-y2=1有共同的焦點(diǎn)F1、F2,設(shè)它們在第一象限的交點(diǎn)為P,且PF1⊥PF2
          (1)求橢圓的方程;
          (2)已知N(0,-1),對于(1)中的橢圓,是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)Q滿足
          AQ
          =
          QB
          ,且
          NQ
          AB
          =0?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
          分析:(1)焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-
          2
          ,0)、(
          2
          ,0),由雙曲線和橢圓的定義,解得
          |PF1| =a+1
          |PF2| =a-1
          .由PF1⊥PF2,知(a-1)2+(a+1)2=(2
          2
          )2
          ,解得a2=3.由此能求出橢圓的方程.
          (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,由方程組
          x2+3y2=3
          y=kx+t
          ,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,由直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),知t2<1+3k2,x1+x2=-
          6kt
          1+3k2
          ,由
          AQ
          =
          QB
          NQ
          AB
          =0,能求出直線l在y軸上的截距t的取值范圍.
          解答:解:(1)焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-
          2
          ,0)、(
          2
          ,0),
          由雙曲線和橢圓的定義,得
          |PF1| -|PF2|=2
          |PF1| +|PF2| =2a

          解得
          |PF1| =a+1
          |PF2| =a-1
          .(2分)
          ∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 
          (a-1)2+(a+1)2=(2
          2
          )2
          ,解得a2=3.(4分)
          從而b2=a2-(
          2
          )2=1

          故橢圓的方程為
          x2
          3
          +y2=1
          .(6分)
          (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,
          由方程組
          x2+3y2=3
          y=kx+t
          ,
          消去y得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,
          直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
          ∴△=(6kt)2-4(1+3k2)(3t2-3)>0,
          即t2<1+3k2①(8分)
          x1+x2=-
          6kt
          1+3k2

          AQ
          =
          QB
          ,得Q為線段AB的中點(diǎn),
          則xQ=
          x1+x2
          2
          =-
          3kt
          1+3k2
          ,yQ=kxQ+t=
          t
          1+3k2
          ,
          NQ
          AB
          =0,kNQ•kAB=-1,N(0,-1),
          t
          1+3k2
          +1
          -
          3kt
          1+3k2
          •k=-1
            化簡得1+3k2=2t,(10分)
          代入①得t2<2t,解得0<t<2,(11分)
          又由2t-1+3k2>1,得t>
          1
          2
          ,
          所以,直線l在y軸上的截距t的取值范圍是(
          1
          2
          ,2).(12分)
          點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,綜合性強(qiáng),是高考的重點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)是圓錐曲線的知識(shí)體系不牢固.本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線、橢圓的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
          1
          2

          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
          (Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
          PF1
          PA
          的取值范圍
          (III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
          AH
          2
          =
          MH
          HN
          ,求證:直線l恒過定點(diǎn).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
          (1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
          (2)求k1:k2的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率是
          3
          2
          ,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
          1
          2
          x+m(m<0)
          與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
          (1)求橢圓的方程;
          (2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
          (3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•威海二模)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為e=
          6
          3
          ,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
          2
          6
          3
          +2

          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
          ND
          MP
          AB
          2
          為定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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          同步練習(xí)冊答案