Question

【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列lanl 滿足

=2kan對任意正整數(shù)n(n> k) 總成立，則稱數(shù)列lanl 是“P(k)數(shù)列”.學(xué)科@網(wǎng)

(1)證明：等差數(shù)列l(wèi)anl是“P(3)數(shù)列”；

若數(shù)列lanl既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：lanl是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】當(dāng){an}為等差數(shù)列時(shí)，∵，

∴，

∴，

∴.

（2）（，），

（，），

∴，∴，

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

【解析】

證明:（1）因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，

從而，當(dāng)時(shí)，

，

所以，

因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.

（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，

當(dāng)時(shí)，，①

當(dāng)時(shí)，.②

由①知，，③

，④

將③④代入②，得，其中，

所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.

在①中，取，則，所以，

在①中，取，則，所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列.